极限计算时需要分左右极限的三种情况

• 分段函数在分界点的极限，分界点两侧的函数表达式不同

• $e^{\infty}$ 型极限

  当 $x\rightarrow 0^{+}$ 时与 $x\rightarrow 0^{-}$ 时 $e^{\infty}$ 型极限值不同，故极限可能不存在

• $arctan\infty$ 型极限

  与 $e^{\infty}$ 同理，当 $x\rightarrow 0^{+}$ 时 $arctan \frac{1}{x} =- \frac{\pi}{2}$ 与 $x\rightarrow 0^{-}$ 时 $arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ 故极限不存在

计算极限的常用办法

有理运算法则

若 $limf(x)=A$，$limg(x)=B$，则

• $lim[f(x)\pm g(x)]=lim(x)\pm lim(x)=A\pm B$

• $lim[f(x)\cdot g(x)]=lim(x)\cdot lim(x)=A\cdot B$

• $lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{limf(x)}{limg(x)}=\frac{A}{B}$$(B\ne 0)$

  推论：极限非零的因子可以先算出来

  要求：

  • 非零
  • 因子（乘除，并非加减或乘方，且必须为整个式子的因子，不可为局部的因子）

两个结论

• 若 $limf(x)$ 存在，$limg(x)$ 不存在，则 $lim[f(x)\pm g(x)]$一定 不存在
• 若 $limf(x)$ 和 $limg(x)$ 都不存在，则 $lim[f(x)\pm g(x)]$不一定 存在

利用等价无穷小求极限

当 $x\rightarrow 0$ 时，

$x$ ~ $\sin x$ ~ $\tan x$ ~ $\arcsin x$ ~ $\arctan x$ ~ $ln(1+x)$ ~ $e^{x}-1$

$(1+x)^{\alpha}-1$ ~ $\alpha x$、$1-\cos^{\alpha} x$ ~ $\frac{\alpha}{2}x^{2}$、$a^{x}-1$ ~ $xlna$、$x-ln(1+x)$ ~ $\frac 1 2 x^2$、$ln(x+\sqrt{1+x^2})$ ~ $x$

推广：若 $\alpha(x)\rightarrow 0$，$\alpha(x)\beta(x)\rightarrow 0$，则 $(1+\alpha(x))^{\beta(x)}-1$ ~ $\alpha(x)\beta(x)$，并不要求 $\beta(x)$ 一定趋向于 $0$

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x=0$ 的某个邻域内连续，且 $lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$ 则