一阶微分方程

变量可分离型

能写成$y'=f(x)g(y)$形式的方程称为变量可分离型方程

其解法为$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \Rightarrow \int\frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx$

可化为变量可分离型

• 形容$\frac{dy}{dx} = f(ax+by+c)$的方程，其中常数$a$，$b$全都不为$0$

  其解法为令$u = ax+by+c$，则$\frac{du}{dx} = a+b\frac{dy}{dx}$，带入原方程得$\frac{du}{dx} = a+bf(u)$

• 齐次型微分方程，即形如$\frac{dy}{dx} = \phi (\frac{y}{x})$或$\frac{dx}{dy} = \phi (\frac{x}{y})$的方程叫做齐次型微分方程

  其解法为令$u=\frac{y}{x}$，则$y=ux \Rightarrow \frac{dy}{dx} = u+x\frac{du}{dx}$，于是原方程变为$x\frac{du}{dx}+u =\phi(u)$

一阶线性微分方程

形如$y'+p(x)y=q(x)$的方程，其中$p(x)$，$q(x)$为已知的连续函数

其通解公式为$y(x)= e^{-\int p(x)dx} \left[\int e^{\int p(x)dx} q(x) dx + C\right]$

伯努利微分方程

形如$y'+p(x)y=q(x)y^{n} (n\ne 0,1)$的方程，其中$p(x)$，$q(x)$为已知的连续函数

其解法为：

对于数学二，令$z=\frac{1}{x}$化简方程

先变形为$y^{-n} \cdot y' = p(x)y^{1-n}=q(x)$

令$z=y^{1-n}$，得$\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$，则$\frac{1}{1-n} \cdot \frac{dz}{dx} +p(x)z=q(x)$

二阶可降解微分方程

$y''=f(x,y')$型（方程中不显含未知函数$y$）

• 令$y'=p(x)$，$y''=p'$，则原方程变为一阶方程$\frac{dp}{dx}=f(x,p)$

• 若求得其通解为$p=\phi(x,C_{1})$，即$y'=\phi(x,C_{1})$

  则原方程的通解为$y=\int \phi(x,C_{1})dx+C_{2}$